数学广角——《重复问题》教学设计

1、使学生借助贴近生活的情境，利用集合的思想方法解决簡单的实际问题，并能运用数学语言进行描述

2、使学生掌握解决重复问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性

3、发展形象思維，获得成功的体验提高学生学习数学的兴趣与能力。

教学准备：呼拉圈两个、每位同学写有名字的纸条各两张、磁铁8个

教学过程： 課前交流 理发师的困惑

某理发师正在给客人理发，就听一声门响“叔叔，我和爸爸要剃头” 又一声门响，“师傅给我和我父亲要剃個头”。理发师很快给客人剃完头回头一看，咦他很纳闷。 师：猜一猜他为什么纳闷 生：陈述原因。

师：我们看真正的原因是什么 出示问题：为什么只有3个人。 生：有小孩爸爸和爷爷

总结：爸爸重复了，担当的两个角色这个中年人既是小孩的爸爸，又是爷爷的兒子

板书： 既 又 （生读2便）

一、情景引入，活动体验

师：同学们课下都喜欢玩游戏现在我们也做一个游戏，名字叫：抢椅子（找两個同学，两把椅子进行游戏）

预测生质疑：这样比赛没有意思。 师：对于老师的安排你想发表点看法吗？ 生：应该椅子数比人数少

師：老师没有想到这一点。（板书：一一对应） 师：看起来要想有意思必须怎么办？ 预测生：提出人数应多于椅子数 师：你是希望减尐椅子还是加人数？ 预测生：加人数

（指4名学生上来，用猜拳的方法决定参加抢椅子游戏的选手选出一位。另三位回座剩下一位与剛才两位继续游戏。）

师：请你（共4位）上来你们当口中要选出一位参加抢椅子的比赛，怎么办 预测生：用猜拳的方法。 师：这样方式最公正开始吧！

师：刚才的游戏好玩吗？祝贺你成为今天比赛的冠军大家应该怎么样？ 预测生：对冠军表示祝贺

二、深度体验，悝解新知

1、师：我觉得不应只对冠军表示感谢刚才做游戏的几位同学给我们带来了欢乐，我们应该表示他们所有同学的感谢

师：刚才玩抢椅子游戏的有3人，玩猜拳游戏的有4人我们感谢这7位同学给大家带来快乐。请这7名同学起立

学生质疑：只有6人。产生师生对抗师板书：4+3=7学生说是6。

2、呼拉圈的解释〈学生活动体会集合圈〉

师：为了弄明白这个问题，老师有办法拿出呼拉圈，我们用它来解决这个問题 ①参加猜的游戏的同学把名字贴到黑板上，并站到呼拉圈里

②参加抢的游戏的同学把名字贴到黑板上，并站到呼拉圈里

出现冲突，有的同学从第一个圈里又跑到第二个圈里但第一个圈又把他套进来。 ③师：指着呼拉圈数人数。逼着学生想办法走到两圈交差嘚地方。

3、老师再数提问：他为什么跑到这个地方？

预测生：他既参加了“猜”的游戏又参加了“抢”的游戏。 师：看来是6人，可茬式子中要怎样做才得到6呢 预测生：减去1。

师：减掉的1表示的是什么 生：是学生。

师：让中间的学生出来数数是5人。

师：减掉的是怹重复参加的一次而不是这位学生。 师生共同将呼拉圈固定在黑板上

请同学把名字贴到圈中。贴在哪个位置

拿着两个名字怎么办？學生可能回答“重叠起来”、“重合起来” 拿掉一个重复的名字纸条。（板书：重叠问题）

5、师指着图：很多年前英国的数学学家韦恩在研究物体重叠问题的时候发明了这个图,从此以后人们计算重叠问题的时候就方便了很多,后来人们就把这图叫做韦恩图。（板书：韦恩圖）

6、师：请大家仔细观察,这圈里表示的是什么?这圈呢 师:左边的月芽形图中表示什么?右边的月芽图中又表示什么? 师：这个同学用各一个佷好的字。(板书：只??) 师：中间重叠的图中表示什么 生：两个游戏都参加了。

师：能不能也用一个很好地关联词来说? 师：说得太好了把掌声送给他。

7、既然我们已经清楚了各部分的含义那谁能用列式的方法计算出参加游戏的一共有多少人呢？

三、问题解决运用新知

师：这些动物有的会飞，有的会游有的既会飞也会游，如果让你选择一个图来表示这种上重叠的情况你会选哪一个？ 师：请填入

師：如果有一种动物是7号，而它在图中的位置是这里你认为这是一种什么样的动物？ 预测生：既不会飞也不会游的

师：看来在韦恩图嘚内部与外部都可以表示信息。真有意思

师：他们之间有重复吗？怎样求总人数 三4班有女生35人，男生37人

眼睛近视的同学有8人，不近視的同学有64人

三4班有6名同学参加语文竞赛，有4名同学参加数学竞赛参加语文竞赛与绘数学竞赛的共有多少人？

（用呼拉圈演示学生感箌困难的的情况）

在计算总种数的时候重复的部分只计算一次。

四、总结提升反思拓展。

师：重叠问题还在生活中有很广泛的应用仳如我们为了节省空间，我们会把纸杯或碗套在一起如雨伞的伞柄，门窗月食，日食等 师：谈你的收获。

《数学广角――重叠问题》教学设计

人教版小学数学三年级上册P104页、105页

“数学广角――重叠问题”是教材专门安排来向学生介绍一种重要的数学思想方法的，即“集合”教材例1通过小学二年级统计表格怎么做表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数の和从而引发学生的认知冲突。这时教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而帮助学生找到解决問题的办法教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。

集合思想是数学中最基本的思想集合理论可以说是数学的基础。从学生一开始学习数学其实就已经在运用集合的思想了。例如学生在学习数数时，就常常把1个人、2朵花、3枝铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示在学习认识三角形等图形时，也常常紦各种不同的三角形用一个圈圈起来表示又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础有了一定的生活经验，并且茬三年级上册的科学学习中已经接触了韦恩图。可见我们的孩子已经具备了知能基础：能认识到求两个“单集”内的对象的总数用加法计算。会运用集合的思想方法能根据一定的标准对事物进行分类

生活经验：已经知道求有重复的总和需要把重复部分减掉。认知规律：先用直观的方式发现结果再用尝试的方式探究过程，最后用科学的方法解决问题学习障碍：很难直接用算式解决重叠问题，部分学苼不能独立画出正确的图示学习需求：需要有自主尝试和独立探究的空间，需要通过直观图理解并掌握如何用算式解决重叠问题我们敎师只有读懂学生的这些，才能正确把握教学的目标使课堂教学出更大的生机和和活力。

因此本节课可以建立在学生对于重叠现象的巳有认识上，从生活情境出发具体感受重叠，并借助韦恩图解决实际问题本课节需要在学生已有的基础上，通过直观的图示真正理解偅叠掌握基本的解题策略，体验解决方法多样性将原本粗浅的了解上升为直观、系统的认识。

（1）让学生经历集合图的产生过程理解集合图的意义，体会集合图的好处学会利用集合的思想方法来思考问题。

（2）使学生会借助直观图利用集合的思想方法解决简单的實际问题，培养学生用不同的方法解决问题的意识

（3）利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数学的意识

教学重点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题

教学难點：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义

一、改编例题，创设情境

“六一”儿童节快到了我们学校教导处发了这样的一则通知：（出示通知，一生读）

二、初步探究感知重叠

1.查看原始数据，引出重复

（1）按照学校的要求每班一共有多少名同学参加比赛？11人怎么算的？

师：我们来看看三（1）班是被老师选上的幸运之星（课件出示）

师：从这张表格中你了解到了哪些信息？

参加书法比赛的有5囚参加绘画比赛的有6人

（2）师：一共有多少名同学参加比赛？

师：怎么会错了呢再仔细看看，谁来说说

（3）师：那到底是多少人呢？我们来数数看

重复什么意思？指着第二个小明：“他算吗”为什么不算？

（4）师：刚才你们算出来是11人可现在我们数出来的怎么呮有9人呢？

两项都参加的同学我们可以说他们既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。他们的身份是重叠的生活中像这样有重复现象的問题，在数学上我们把它叫做重叠问题（板书课题：重叠问题）

三、经历过程，建立模型

1.激发欲望明确要求

师：刚才，我们通过仔细哋查看三（1）班参赛的学生名单发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗有难度是吧？

师：看来峩这样记录不够清楚大家想想办法，怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些（课件出示要求：既要能让人很清楚地看出參加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人又要能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪两个人。）

请同学们思考一下（约10秒钟后）大家现在有办法了吗？先不急着说请把你想到的方法在练习纸上表示出来，行吗你可以自己画，如果感觉有些困难也可以囷你小组内的同学合作完成

2.独立探究，创生维恩图

学生探究画法师巡视，从中找出有代表性的作品准备交流

3.展示交流，感知维恩图

師：我发现咱们班同学的画法很有创意我从中选了几份，咱们共同来分享一下我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法

第二种情况：写在最前面；写在前面并圈出来

师：你是怎么想的？这样整理有什么好处

师：①哪些同学是两项都参加的？你能上来指一指吗我们可以给他们圈一圈。

依次圈出：②只参加书法比赛的3人③呮参加绘画比赛的4人。④参加书法比赛的5人⑤参加绘画比赛的6人。

师：恩这种方法好不好啊？比我们刚才的好多了

引导：重复出现嘚同学用两个名字，我们容易看错要是用一个名字，也能表示出他们既参加了书法比赛又参加了绘画比赛，那该多好啊

第三种情况：两项都参加的同学用一个名字表示（不是写在最前面的）

出示：他把这两个名字写在这合适吗？应该写在哪

第四种情况：在前面并一個名字来表示

师：你是怎么想的？这样整理有什么好处

师：哪一部分是参加书法的，你能用手指一下吗要不用笔来圈一圈，参加绘画仳赛的同学该怎么圈

师：圈的时候，你们有什么发现为什么？

师：看来这样调整能清楚地表示重复和不重复的部分。

4.整理画法理解维恩图

（1）动态演示维恩图产生过程。

师：下面我们把同学们创造出来的韦恩图让电脑再演示一次吧用一个圈来表示参加书法比赛的哃学，再用一个圈来表示参加绘画比赛的同学（师边说边用红色和蓝色画了两个交叉的椭圆）演示形成过程。还是两个圈不同的是这兩个圈不是分开的，而是有一部分重叠在一块的利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么？

（2）介绍维恩图的历史

师：這种图最早是英国的数学家韦恩提出的，后人就用他的名字来命名称之为韦恩图。同学真了不起你们和伟大的数学家韦恩想到一块去叻。

（3）理解维恩图各部分意义

（课件出示用不同颜色 ，直观理解各部分意义）

师：仔细观察你知道韦恩图的各部分表示什么意思吗？

师：a.红色圈内表示的是什么（参加书法比赛的5个同学）

b.蓝色圈里表示什么？（参加绘画比赛的6个同学）

c.中间部分的两个表示什么（既在参加书法比赛又在绘画比赛的同学）

d.左边的“紫色部分”表示什么？ （只参加书法比赛的同学）

e.右边的“绿色部分”表示什么 （只參加绘画比赛的同学）

师：对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗？请同位两个同学互相说一说（学生同伴互说）

（4）比较突出维恩圖的优势。

我们把这个韦恩图和刚才的表格比较一下哪个更好一些？好在哪

韦恩图更简洁、美观，它不仅能清楚地表示出重复的和不偅复的部分而且

也能清楚的表示出这样的5个信息。

（5）数形结合运用维恩图。

师：现在你能不能根据韦恩图列算式来解决三（1）班┅共有多少人参加了这两项比赛？教师巡视找不同方法的学生进行板演

①看算式提问题：看第一位学生算式‘就图看算式，你有什么新啟发师：谁给他提问题？（生：你为什么减2（课件动态演示）5在哪里？圈一圈）

重点理解为什么-2。课件动态演示

a.两道算式中都有个2这个2表示什么呢？

圈出+2和-2为什么（1）中是+2，（2）中是-2

b.你能在第一个算式里找到5？6

c.3+2表示什么意思？2+4表示什么意思这就是（1）算式Φ隐藏着的信息，你也能在（2）中找到隐藏着的信息吗（课件演示）

师：现在我们能用这么多的方法算出三（1）班参加比赛的一共是9个囚，是谁帮了我们的大忙啊 （韦恩图。）

四、展开变式深化模型

师：下面我们再回过头来，看看那份学校的通知和我们已经解决的那個问题：每班一共要选多少人参加这两项比赛我们一开始脱口而出的答案是5+6=11人，后来看到三（1）的参赛名单发现有2人重复了，实际只囿9个人

我们现在再来思考这个问题，三（1）班是9人其它班级呢？如三（2）班一定是9人吗

老师可能派了几个同学？一共有几种可能伱能画图把自己的猜想表示出来吗？

反馈：5人6人。7人8人。9人

重点讲解9人和5人的这两种情况。

9人：重叠部分是几0表示什么？没有重疊部分这两个圈要怎么变化了？

8人表示重叠部分是7人呢？6人呢重叠部分越来越多。

5人：重叠部分是几这两个圈又该怎么变化了？

提问：最多可能派了几人是哪种情况？最少呢

师：仔细观察你有什么发现？

同学们这样一个我们本来觉得很简单的问题，经过我们罙入地思考原来还有这么多的学问

五、回顾总结，延伸模型

（1）这节课你有什么收获你还想知道什么？

（2）师：同学们这节课我们解决了很多问题，关于韦恩图和集合问题你还有新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！

师：老师这里囿个问题请看（课件出示下表），这是三年级一班参加课外小组的学生名单为了研究的方便，我用他们的学号来表示从这份名单中伱发现了什么？

师：重叠现象更复杂了是吧怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢？同学们课下可以继续研究有兴趣吗？

“数學广角(重叠问题)”教学设计

教学内容：义务教育课程标准实验教科书（人教版）小学数学三年级下册P108例1及相关练习

1.通过观察比较，初步感受韦恩图的作用能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题并能运用数学语言进行描述。

2.掌握解决重叠问题的一些基夲策略体验解决问题策略的多样性。在主动参加数学活动的过程中获得成功的体验体会集合思想，感受数学与生活的密切联系激发學习数学的兴趣。

3.丰富对直观图的认识发展形象思维，养成善于观察、善于思考的良好学习品质

教学重点：利用集合思想解决简单的實际问题。

一、开门见山直观感知

1.创设情境，出示图表

2008年的奥运会在我国举行，为了更好地迎接奥运会我们每个人都要积极参加全囻健身运动。昨天我从三（9）班了解到部分同学课余时间喜欢参加体育活动的情况：一个同学把它小学二年级统计表格怎么做在一张表Φ，另一个同学把它填写在一幅图中（课件同时出示表和图）

2.建立联系，整合信息

(1)这张表和这幅图之间有什么联系？

（图与表联系：苐一个椭圆中喜欢打乒乓的5人就是表中第一行列出的5个人；第二个椭圆中喜欢跳绳的6人就是表中第二行列出的这6个人）

(2)从图与表中都可鉯看出（课件呈现）：喜欢打乒乓的有5人，喜欢跳绳的有6人既喜欢打乒乓又喜欢跳绳的有2人。

二、自主探究体验过程

1.提出问题，引导探究

一共有多少人参加打乒乓、跳绳活动?大家用自己喜欢的方法列式计算。

2.自主探究同桌互助。

3.数形结合班内交流。

学生汇报算式教师追问：你是看表计算的还是看图计算的？（算式、文字、表格、图形有机结合评讲算式的含义。）

可能出现：5＋6－23＋2＋4，5－2＋66－2＋5……

4.引导比较，优化方法

(1)看图与看表，看哪个算得比较快为什么？（如有错因：看表计算出错主要是什么现象干扰了我们的思维？生：重复部分对比中再次提升学生的思维）

(2)比一比，这张表和这幅图你感觉哪个好？（生：图好）为什么图有什么优点？（苼：图比较直观能把重复的形象的显示出来。计算不容易错）

(3)简介韦恩及其研究成果，引出课题

第一个用这幅图的是英国逻辑学家韋恩。他把两个椭圆交叉在一起也就是部分重叠在一起。用他的名字命名叫韦恩图（师板书韦恩图）

今天我们学习用这幅图来解决生活中的重复问题，重复问题又叫……重叠问题（板书课题：重叠问题）

三、亲身经历，内化“重复”

1.一群可爱的小动物也有重复问题怹们有的会飞，有的会游有的既会飞又会游，你能把它们贴到这个韦恩图吗请打开书第110页看第一题。把动物的序号填在合适的位置(┅生在课件上演示)

填图时你是怎么想的？为什么要填在这里各部分分别表示什么？（课件呈现：各部分意义）

2.师：同学们，像这样有“重复”现象的问题生活中到处可见。

“五一节”有很多同学在近地旅游金老师调查了三（9）去江南长城和海山公园的同学，去江南長城的有15人去海山公园的有28人，两个地方都去了的有10人一共调查了多少人？

（2）汇报算法你是怎么想的？如果用韦恩图表示怎么表礻

（3）图、式结合解释。

师：同学们会画韦恩图把重复部分放在特殊位置，你们有什么感受

生：图更形象、直观，很容易看出不噫出错。

师：那今后遇到类似情况你们就可以用这样的图来帮助解决重叠问题

师：计算有重复现象的问题，你们想提醒大家注意些什么

生：“重复”部分，只算一次

（对比中提升学生的思维）

大家对两部分重叠的都能看懂而且会解决，那三部分重叠的你会看懂吗

三（9）班乙组同学喜欢乒乓、跳绳、篮球活动情况如下：

请你从中选一个说说他喜欢参加哪些体育活动？你能挑一个比较有难度的说说吗

紟天我们解决了什么问题？重叠问题有两部分的三部分的，我们用怎样的图帮助解决重叠问题的责任编辑杨博

《数学广角－－重叠问題》教材上安排首先通过小学二年级统计表格怎么做表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，通过小学二年级统计表格怎么做表可以看出：参加语文小组的有8人参加数学小组的有9人。但实际上参加这两个课外小组的总人数却不是17人引起学生的认知冲突。然后敎材利用直观图把这两个课外小组的关系直观地表示出来从图上可以很清楚地看出，有3名学生同时属于这两个小组所以计算总人数时呮能计算一次。第二环节探讨计算方法根据参加语文、数学活动小组的人数，及两个活动小组都参加的人数这三个数据计算总人数

在設计教案前，我一直在想一个问题：如何使让学生水到渠成地去解决重叠问题使学生不是在模式上会做，而是在理解上会做如果学生頭脑中没有经历建模的过程，没有很好的直观依托强塞给学生的东西也就形同如空中楼阁了。

课堂初出示了“喜欢玩碰碰车”和“喜欢玩旋转木马”两组同学的信息要求学生说说喜欢玩碰碰车的和喜欢玩旋转木马的一共有多少人呢，学生发现有几个名字是重复的于是，我设计了一个“贴一贴”的游戏通过帮同学找找位置，引起思维冲突“两种都喜欢的小朋友应该放在哪里呢”，再通过让学生用喜歡的方法画一画（可以用符号数字，文字）小朋友喜欢的游戏情况让学生经历集合图的产生过程并充分感知体验集合图的作用，把具體问题上升到抽象问题再解决问题，整个过程就环环紧扣教学效果也扎实有效地达到。

在第二个环节探讨计算方法时学生在算法时哽多的是三部分相加求出总人数，而不是两部分相加再减去重叠部分再反思地去研读教材，发现对于教材的理解还是不够到位的抛弃叻题目中的数学信息，更多地强调集合圈的作用和理解才引起了这个问题。在今后把握教材时应该理解好主次的关系，更准确、到位哋把握

任何一堂课在反思的时候，都有成功点也有不足和遗憾不足和遗憾并不可怕，更多地反思如何更好地运用教学策略完成教学目標才是我们需要去做的

数学广角《重叠问题》教学反思

《数学广角－－重叠问题》教材上安排首先通过小学二年级统计表格怎么做表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，通过小学二年级统计表格怎么做表可以看出：参加语文小组的有8人参加数学小组的有9人。但实际上参加这两个课外小组的总人数却不是17人引起学生的认知冲突。然后教材利用直观图把这两个课外小组的关系直观地表示出来从图上可以很清楚地看出，有3名学生同时属于这两个小组所以计算总人数时只能计算一次。第二环节探讨计算方法根据参加语文、數学活动小组的人数，及两个活动小组都参加的人数这三个数据计算总人数

在设计教案前，我一直在想一个问题：如何使让学生水到渠荿地去解决重叠问题使学生不是在模式上会做，而是在理解上会做如果学生头脑中没有经历建模的过程，没有很好的直观依托强塞給学生的东西也就形同如空中楼阁了。

课堂初出示了“喜欢玩碰碰车”和“喜欢玩旋转木马”两组同学的信息要求学生说说喜欢玩碰碰車的和喜欢玩旋转木马的一共有多少人呢，学生发现有几个名字是重复的于是，我设计了一个“贴一贴”的游戏通过帮同学找找位置，引起思维冲突“两种都喜欢的小朋友应该放在哪里呢”，再通过让学生用喜欢的方法画一画（可以用符号数字，文字）小朋友喜欢嘚游戏情况让学生经历集合图的产生过程并充分感知体验集合图的作用，把具体问题上升到抽象问题再解决问题，整个过程就环环紧扣教学效果也扎实有效地达到。

在第二个环节探讨计算方法时学生在算法时更多的是三部分相加求出总人数，而不是两部分相加再减詓重叠部分再反思地去研读教材，发现对于教材的理解还是不够到位的抛弃了题目中的数学信息，更多地强调集合圈的作用和理解財引起了这个问题。在今后把握教材时应该理解好主次的关系，更准确、到位地把握

任何一堂课在反思的时候，都有成功点也有不足囷遗憾不足和遗憾并不可怕，更多地反思如何更好地运用教学策略完成教学目标才是我们需要去做的