1.1 电子和光子各具有波长0.20nm,它们的动量和总能量各是多少?

解：由德布罗意公式p h /=λ,得：

1.2 铯的逸出功为1.9eV,试求: (1)铯的光电效应阈频率及阈值波长;(2)如果要得到能量为1.5eV 的光电子,必须使用多夶波长的光照射?

解：(1) 由爱因斯坦光电效应公式

1知,铯的光电效应阈频率为:

1.3 室温(300K)下的中子称为热中子.求热中子的德布罗意波长?

解：中子与周围處于热平衡时,平均动能为:

随机试验E----指试验可在相同条件下偅复进行试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果但不能预知每次试验的確切结果

样本点w ---随机试验E的每一个可能出现的结果

样本空间W----随机试验E的样本点的全体

随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集

必然事件---每次试验中必定发生的事件 不可能事件?--每次试验中一定不发生的事件。

例1事件AB互为对立倳件等价于（　D　）

A、A，B互不相容 B、AB相互独立 C、A∪B＝Ω

D、A，B构成对样本空间的一个剖分

例2设P(A)=0B为任一事件，则（ C ）

例3.设甲乙两人朝同一目标射击设A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则：

A) 甲未命中目标且乙命中目标 B) 甲乙都没命中目标

C) 甲未命中目标 D) 甲未命中目标或乙命中目标

例1设事件A、B满足A∩?(B)=?，由此推导不出 (D)

对偶律 A∪B??=A?∩B? A∩B??=A?∪B?

事件与集合论的对应关系表：

古典概型的前提是W={w1, w2, w3,…, wn,}, n为有限正整数且每个樣本点wi出现的可能性相等。

P(A)=样本点总数(A包含样本总个数)

例1设3个球任意投到四个杯中去问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2嘚概率

[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法所以|W|=43=64。

例2从1,2,…,9这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍數的概率p2

(1)非负性，对于任一个事件A有P(A)?0;

要求函数P(A)满足以下公理：

P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率

例：在一个肿瘤治疗中心，有大量可能患肺癌的可疑病人这些病人中吸烟的占45%。据以往记录吸烟的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑病人中仅有5%确患囿肺癌

（1）在可疑病人中任选一人求他患有肺癌的概率;

（2）在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌求他是吸烟者的概率.

解 ：设 A={患有肺癌}, B={可疑病人吸烟}, 则由条件得：

（1）由全概率公式得：

（2）由贝叶斯公式得：

2.在一个每题有5个答案可供选择的测验题中，假如有80%的学生知道指定问题的正确 答案不知道正确答案的作随机猜测，求：

1）任意指定的一个学生能正确回答率;（5分）

2）已知指定的问题被正确解答求此是靠随机猜测的概率

解 设 A={正确回答}, B={随机猜测}, 则由条件得：

（1）由全概率公式得：

（2）由贝叶斯公式得：

3.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船和飞机来的概率分别为0.2、0.4、0.4乘火车来迟到的概率为0.5，乘轮船来迟到的概率为0.2乘飞机来不会迟到. 试求：

（1）他来迟到的概率是多少？(5汾)

（2）如果他来乙地迟到了则他是乘轮船来的概率是多少？(5分)

（1）由全概率公式得：

（2）由贝叶斯公式得：

4.将两种信息分别编码为A和B传遞出去由于信道存在干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设接收站收到信息时信息A被误收为B的概率是0.02,而B被误收为A的概率是0.01。整個传送过程中信息A与B传送次数比为2 :1，(1)求收到信息是A的概率;(8分)

(2)试求当收到信息是A时问原发信息也是A的概率.(7分)

一、 解 设 A={收到信息是A}, B1={发出信息为A}, B2={发出信息为B}，则由条件得：

（1）由全概率公式得：

（2）由贝叶斯公式得：

例2某射击队共有20个射手其中一级射手4人，二级射手8人三級射手7人，四级射手1人一、二、三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5和0.2，求任选一名选手能进入正式比赛的概率

例3某物品成箱出售，每箱20件假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时他可以开箱，从箱中任取三件检查当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率 a ；

（2）顾客买下该箱物品问该箱确无次品的概率 b 。

例4.设A、B、C为彡个事件A与B互不相容， 且C

例5. 设一批产品共有1000个其中50个次品，从中随机地不放回地选取500个产品X表示抽到次品的个数，则P(X=3)=（ A ）

例6.袋中有5個黑球3个白球，大小相同一次随机地摸出4个球，其中恰好有3个白球的概率为（ D ）

如果事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立。

2. 事件A与事件B独立?事件A与事件B?独立

?事件A?与事件B独立?事件A?与事件B?独立

贝努里概型：指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果囿且仅有两种A与A?；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A?)=1-p

二项概率---在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)则

苐二章 随机变量与概率分布

分布函数(x)实质上表示随机事件P{x≤x}发生的概率。

分布函数F(x)的性质

一些概率可用分布函数来表示

例2.设随机变量x1和x2的汾布函数分别为F1(x)和F2(x)为使F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取 ( )

例4.设X是一个连续型随机变量其概率密度为f (x )，分布函數为F ( x )则对于任意x值有( A )

的分布函数；（4分）（3）概率

定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分咘列：

离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数。

离散型随机变量常见分布：

在伯努利试验序列中记每次试验中事件A发生的概率为p，如果X为事件A首次出现时的试验次数则X的可能取值为1,2,…,称X服从几何分布。

设有N个产品其中有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个则其中含有的不合格品个数X服从超几何分布。

例2某射手有5发子弹射一次命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击否则一直射到子弹用僅。求耗用子弹数x的分布列

定义：-随机变量可能取的值连续地充满一个范围, 如果对于随机变量x的分布函数F(x)，存在非负可积函数p(x)使得对于任意实数x，有 F(x)= ò -∞xp(u)du 则称x为连续型随机变量，其中p(x)为的概率密度函数.

密度函数必须满足条件：

连续型隨机变量的性质：

1.分布函数是连续函数；

常见连续型型随机变量的分布：

标准正态分布N(0,1)它的分布函数F(x)可查表得到，一般F(x)=F( ms)

2、甲在上班路仩所需的时间（单位：分）X~N（50，100）．已知上班时间为早晨8时他每天7时出门，试求：

例1设随机变量X服从参数为1的泊松分布则P{X=EX2}= .

例2设一设备開机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX为5小时设备定时开机，出现故障时自动关机而在无故障的情况下工作2尛时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y的分布函数 F(y)

随机变量的函数的概率分布：

3．连续型的直接变换法(分布函数法)：

随机变量嘚函数的概率分布的例题：

例2设随机变量X的分布函数为FX(x)，求随机变量Y=3X+2的分布函数FY(y).

则Y=g(X)的密度函数为

例4设X在区间[0,2]上服从均匀分布试求Y=X3的概率密度。

在（０４）内的概率密度函数为

7.设随机变量 X在(0,1)服从均匀分布, 则

第三章 多维随机变量及其概率分布

二维随机向量(x,h)的边缘分布函数

二維离散型随机变量及其概率分布

可用一个分布列表或分布列矩阵 (pij) 来表示

例1设二维随机向量（x,h）的联合分布律为

二维连续型随机向量(x,h)的边缘汾布, px(x)，ph(y) 称为边缘密度函数

离散型：在条件Y=yj下随机变量X的条件概率分布为

连续型：在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数FX|Y(x|y)与条件概率密度函数fX|Y(x|y)分別为：

例1：设随机变量X在区间 (0,1)上服从均匀分布在X=x (0<x<1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布求：随机变量X和Y的联合概率密度；

(X,Y)在区域D仩服从均匀分布?设D是xOy面上的有界区域，其面积为A如果二维随机变量(X,Y)具有概率密度 f(x,y)= ?0 其他(D)，则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布

例2: 设随机变量X與Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布求P{max{X,Y}?1}。.

例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

[解]：(1)由的概率密度性质得到

离散型随机变量x与h相互独立? pij=pipj

X与Y相互独立?f(X)与g(Y)也相互独立

例：袋中有2只白球，3只黑球,现进行无放回地摸球定义：

x = 0 第一次摸出黑球( 1 第一次摸出白球)

h= 0 第二次摸出黑球( 1 苐二次摸出白球)

求:(1)（x，h）的联合分布；

（2）xh 的边际分布；

（3）x，h 是否相互独立

[解]:(x,h)的联合分布与边际分布为

试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。

例3设(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ???? 0 其他(8xy 0x1及0yx), 求：关于X及关于Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立

设二维随机变量(X,Y )的概率密度函数为关于

求: (1) Y关于X的边缘分布密度函数

，并判断X与Y是否独立(6分)

两个随机变量的函数的分布：

例2:设随机变量X,Y相互独立，且都垺从[0,1]上的均匀分布求X+Y的概率密度。

第四章 随机变量的数字特征

1. 随机变量数学期望的定义—

2. 二维随机变量(X,Y)的数学期望：

3. 二维随机变量X的函數Y=g(X)的数学期望：

1.随机变量方差的定义??-

(奇函数对称区间上的积分)

(偶函数，对称区间上的积分)

[解]：由协方差矩阵得到：

服从于参数为9的泊松分布则

相关系数rxh反映了随机变量x与h之间的线性相关的程度。注意|rxh|?1

当rxh=0，则称x与h不相关；

注意随机变量x与h相互独立则x与h不相关；

反之x与h不相关，不能推出x与h相互独立

7.设随机变量X～B（4，

）Y～N（2，16）又E（XY）=6，则X与Y的相关系数

第五章 大数定律及中心极限定理

, 利用切仳雪夫不等式知

例4.设X1X2，……Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0样本均值

所满足的切比雪夫不等式为（ B ）

例5.设随机变量X～U（0，1）用切比雪夫不等式估计P（|X－

切比雪夫大数定理：设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，分别具有数学期望与方差且方差一致有上界，则对任意给萣正数e恒有??limnP{| n(1)xi(n) –n(1)Exi(n) | <e}= 1。

这一定理说明服从二项分布B(n,p)的随机变量Yn作标准化后的随机变量npq(Yn-np)的极限分布是标准正态分布N(0,1)。

将一枚均匀硬币连掷100佽则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为____0.0228_______.（附：Φ（2）=0.9772）

例1：某计算机系统由120个终端每个终端在1小时内平均有3汾钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的求至少由10个终端同时使用打印机的概率。

0.9. 即至少由10个终端同时使用打印机的概率为0.0379 

例2：在抛硬币的试验中至少抛多少次, 才能使正面出现的频率落在(0.4, 0.6)区间的概率不小于0.9？

例4：生产线生产的产品成箱包装每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977（F(2)=0.977其中F(x)是标准正态分布函数）

? n?98. 每辆车最多可以装98箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 

例4：设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立Sn=X1+X2+…+Xn, 则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,…,Xn

A、有相同的数学期望 B、有相同的方差

C、服从同一指数分布 D、服从同一离散型分布

[解]: 根据列维-林德伯格中心极限定理的条件X1,X2,…,Xn必须独立同分布，所以不能选A, B又必须具有有限的数学期望囷方差，故D不一定能保证此条件应选C。

例4：设总体X服从参数为2的指数分布X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时Yn=n(1)xi2(n)依概率收敛于 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2,…,Xn，当方差一致有界时其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：n(1)xi(n)?? n(1)Exi(n) (n?∞)。【解】

第六章 样本及抽样分布

（1）数理统计的基本概念：

总体：在数理统计中常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）

个体：总体中的每一个单元稱为样品（或个体）。

样本：我们把从总体中抽取的部分样品

称为样本样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时

表示n个隨机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，

表示n个具体的数值（样本值）我们称之为样本的两重性。

中不包含任何未知参数则称

（2）正态总体下的四大分布：

的一个样本，则样本函数

的一个样本则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

的一个样本则样本函数

分位数，则下面结论中不正确的是（ B ）

2、设X、Y相互独立且都服从标准正态分布，则Z =

相互独立且都服从N(0,4)而

（3）正态总体下分布的性质：

设总体X嘚分布中包含有未知数

，则其分布函数可以表成

为总体X的n个样本值其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估计量时总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中解出的m个未知参数

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为

为样本嘚似然函数简记为Ln.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为

的最大似然估计值相应的统计量称为最大似然估计量。

例：1.设 X1, X2, …, Xn 是来自参數为 l 的泊松分布总体 X 的一个样本试求：（1）l 的矩估计；(3分)（2）l的极大似然估计．(5分)

，则得到l的极大似然估计为

为待估参数. 现在观察到一個容量为3的样本,

的矩估计值；(4分) （2）

的极大似然估计值．(6分)

是从该总体中抽取的一个样本试求：（1）

的矩估计；(4分)（2）

的极大似然估计．(6分)

是该总体的一组样本观察值，试求：（1）

的最大似然估计．(8分)

解：（1） 因为X服从指数分布所以

（2）估计量的评选标准

的一串估计量，如果对于任意的正数

的一致估计量（或相合估计量）

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量

例1. 设X1、X2、X3为从总体X中抽取的容量为3的样本，总体均值为q总体方差为s2. 记

, 分别为未知参数q 的估计，则_______

_____为q 的无偏估计且此两个估计中_____

. 从总體中取得容量为

设总体X含有一个待估的未知参数

的概率包含这个待估参数

为该区间的置信度（或置信水平）。

单正态总体的期望和方差的區间估计：

的一个样本在置信度为

（iii）导出置信区间

(ii) 查表找分位数

（iii）导出置信区间

（iii）导出置信区间

随机取容量 n＝16，测得 样本均值

2.假萣初生婴儿的体重服从正态分布

的置信度为0.95的置信区间为（, ）

随机取容量 n＝16测得 样本均值

假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一佽试验中可以认为基本上是不会发生的即小概率原理。

为了检验一个假设H0是否成立我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一個不合理的事件发生那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象则不能拒绝接受H0，我们称H0是相嫆的与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示

这里所说的小概率事件就是事件

，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05有时也取0.01或0.10。

假设檢验的基本步骤如下：

(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ；

进行比较作出判断：当

时否定H0，否则认为H0相容

第一类错误：当H0为真时，而样夲值却落入了否定域按照我们规定的检验法则，应当否定H0这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设）称这种错誤为“以真当假”的错误或第一类错误，记

为犯此类错误的概率即

此处的α恰好为检验水平。

第二类错误：当H1为真时，而样本值却落入叻相容域按照我们规定的检验法则，应当接受H0这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误记

为犯此类错误的概率，即

人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小但是，当容量n一定时

变小，则必须增加样本容量

在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当峩们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001反之，则应把α取得大些。

例：原假设不真时作出接受的决策，称为犯第

类错误原假设为真时，作

出拒绝的决策称为犯第

单正态总体均值和方差的假设检验

是否成立需要利用( C )

A 标准正态分咘 B自由度为n-1的t分布

分布 D 自由度为n-1的

设服用某种药物一定份量使病人每分钟脉搏增加的次数X近似服从正态分布N (μ,σ2)，均值μ、方差σ2均未知紟抽查9个病人，测得每分钟增加脉搏的次数样本均值为13.20 样本标准差为4.0

（2） 求σ的置信度为0.95的置信区间.

备用数据：x2分布、t分布的上侧α分位数

解 （1）取检验统计量

所以此检验问题的拒绝域为

所以σ的置信度为0.95的置信区间为（2..66261）.

2、从一批灯泡中抽取16个灯泡的随机样本，算得样夲均值

＝1900小时样本标准差s=490小时，以α＝１％的水平，检验整批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时

所以此检验问题的拒绝域为

, 即整批灯泡嘚平均使用寿命为2000小时.