原标题：高等数学典型习题：(100409)多え函数的方向导数

“多元函数的方向导数”题型的求解思路以及相关的知识点：

设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义其中向量u对应的单位姠量为uo=(cosα,cosβ)，其中α,β为向量u的方向角则当极限

存在时，则称该极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿方向u的方向导数记作

【注】从实际应用与通用性角度，我们定义方向导数ρ→0+有些教材对方向导数的定义ρ的取值可正可负，虽然可以视偏导数为其特殊情况，但是其条件对于实际应用来说太强！当然如果一个函数沿着指定方向及其反方向方向导数存在且互为相反数，则定义与ρ→0+一样可得得到有效结论

2．方向导数的幾何意义

定理设函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微，那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在且有

其中cosα,cosβ为向量u的方向余弦．

4．多元函数的方向導数

方向导数的概念及计算公式可推广到三元及三元以上的函数．例如，三元函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)沿方向u（对应的单位向量为uo=(cosα,cosβ,cosγ)）的方向导数定義为

同样当函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)可微时，函数在该点沿方向u的方向导数

一般地当函数f(x,y,z)可微时，有

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